3極限値lim[n→∞]bn/an存在するどうか調べ存在

3極限値lim[n→∞]bn/an存在するどうか調べ存在。ab0a[1]=a,。a ba>b>0満たす定数、 {a1=a、an+1=an2+bn2(n=1,2,3,???)、 b1=b、bn+1=2anbn(n=1,2,3,???)}で定義される数列{an}、{bn}考える 次の問い答えてください (1)数列{cn}、{dn}cn=an+bn、 dn=an?bn(n=1,2,3,???)定義するき、一般項cn、dna、b用いて表てください (2)数列{an}、{bn}の一般項an、bna,b用いて表てください (3)極限値lim[n→∞]bn/an存在するどうか調べ、存在する場合値求めてください

ab0a[1]=a, b[1]=ba[n+1]=a[n]^2+b[n]^2 …①b[n+1]=2a[n]b[n] …②1c[1]=a[1]+b[1]=a+b 0①+②から、a[n+1]+b[n+1]=a[n]+b[n]^2∴c[n+1]=c[n]^2 …③c[n]0 を示す。n=1のとき、c[1]0n=kのときc[k]0 と仮定すると、③から、c[k+1]0 で成立。よって、c[n]0③の両辺の絶対値の対数をとって、logc[n+1]=2logc[n]logc[n]=2^n-1?logc[1]=2^n-1?loga+b∴c[n]=a+b^{2^n-1} ???④∵c[n]0d[1]=a[1]-b[1]=a-b 0①-②から、a[n+1]-b[n+1]=a[n]-b[n]^2∴d[n+1]=d[n]^2c[n]と同様にして、d[n]0 で、d[n]=a-b^{2^n-1} …⑤2④+⑤から、2a[n]=a+b^{2^n-1}+a-b^{2^n-1}∴a[n]=1/2a+b^{2^n-1}+1/2a-b^{2^n-1}④-?から、同様にして、b[n]=1/2a+b^{2^n-1}-1/2a-b^{2^n-1}3b[n]/a[n]={a+b^{2^n-1}-a-b^{2^n-1}} / {a+b^{2^n-1}+a-b^{2^n-1}}={1-{a-b/a+b}^{2^n-1}} / {1+{a-b/a+b}^{2^n-1}}→1 n→∞∵ 0a-b/a+b1 だから、lim[n→∞] {a-b/a+b}^{2^n-1}=0よって、極限値 lim[n→∞] b[n]/a[n] は存在し、その値は1

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